Головоломка под номером ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ
Если Вы случайно встретите двух сестер ИВАНОВЫХ, то в 50% случаев вы увидите, что обе сестры голубоглазые. Так сколько среди сестер ИВАНОВЫХ голубоглазых девушек? И сколько всего сестер ИВАНОВЫХ. Фото, адреса и телефоны просьба не клянчить.
Как можно восстанвоить старую фотографию 
8 комментариев:
Пусть у - все кол-во сестер, х - количество голубоглазых. Тогда по условию получаем уравнение: (х/у)*((х-1)/(у-1)) = 1/2. Его надо решить в целых числах при условии что у больше х. Сходу подбирается решение: всего 4 сестры, из которых 3 голубоглазые. Единственное ли это решение - вопрос.
Добавлю к предыдущему автору.
Честно говоря, не понял как напрямую из условия получить приведенное уравнение (хотя оно верное). На мой взгляд, это уравнение можно получить из комбинаторики:
p(количество комбинаций из 2 гол.-гл. сестер при их общем количестве x)=x!/(2*(x-2)!)
q(количество комбинаций из 2 любых сестер)=y!/(2*(y-2)!)
Тогда
p/q=1/2=(x!*(y-2)!)/((x-2)!*y)
Отсюда и получается уранение
(х/у)*((х-1)/(у-1)) = 1/2
или
y*(y-1)=2*x*(x-1)
Учитывая, что x и y - целочисленные и положительные, а y>x, имеем систему уравнений:
x=y-1 и
2*(x-1)=y
Отсюда ответ: 4 и 3.
А я не совсем понял как получилась система уравнений :). Система дает единственное решение. А в исходном уравнении можно подобрать еще как минимум одно решение: 0, 1. Хоть оно и не удовлетворяет условию, но формально удовлетворяет уравнению. Так что, по-моему, система и уравнение не эквивалентны? И другие решение могут еще быть?
А уравнение можно получить еще так: вероятность "угадать" одну голубоглазую сетру равно х/у. Второй раз нам опять надо "угадать" одну голубоглазую, но их уже на одну меньше, поэтому вероятность (х-1)(у-1). А потом вероятности перемножаются, как вероятности независимых испытаний.
Разумное решение только одно - 4 и 3. Но у уравнения y*(y-1)=2*x*(x-1), полученного Анонимом, бесконечно много решений в целых числах. Например, подойдёт пара y = 21, x = 15. Но общей формулы для всех пар у меня пока нет.
Если грубо посмотреть, то из задачи следует, что сестры 2 и голубоглазых 2.
Вы встречаете ДВУХ сестер Ивановых. Вы можете Увидеть, что обе сестры голубоглазые (первые 50% случаев). А можете и вообще Не увидеть какие у них глаза (вторые 50%).
Приношу извинения. Система уравнений действительно некорректна. Я исходил из ложной предпосылки. Увы.
Можно пойти следующим путем. Решаем квадратное уравнение
y*y-y-2*x*(x-1)=0
относительно y.
Имеем решение:
y=(1+-кв.корень(8*x*x-8*x+1))/2
Другими словами, решение лежит в целочисленности квадратного корня из выражения:
(8*x*x-8*x+1)
Соответственно, решений будет бесконечно много. Например (по возрастающей):
3 и 4
15 и 21
85 и 120
493 и 697
2871 и 4060
16731 и 23661
и т.д.
Исходя из разумности количества детей (в истории, если я не ошибаюсь, известно максимальное количество детей у одного мужчины (при моногамном браке) - 82, правда, от 2 жен последовательно, первая не выдержала, умерла :-((( ), решений будет 2 (3 и 4, 15 и 21).
Решение задачи с использованием техники уравнений Пелля (подробно об этих уравнениях - тут: http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.13.pdf)
Будем искать все целочисленные решения уравнения
y(y-1) = 2x(x - 1)
с ограничениями x > 0, y > 0. Делая подстановку
a = 2y - 1; b = 2x - 1 (**)
приходим к уравнению для a и b:
a^2 = 2*b^2 - 1.
Оно решается по аналогии с уравнением Пелля
a^2 = 2*b^2 + 1,
и его решения получаются следующим образом. Пусть (a(0), b(0)) = (1,1) - первая пара решений. Тогда вторая пара получится из первой так:
(a(1), b(1)) = (3a(0) + 4b(0), 2a(0) + 3b(0)) = (7, 5).
И так далее, рекуррентная формула для всех (а их – бесконечное число) решений уравнения
a^2 = 2*b^2 – 1
такова:
(a(i), b(i)) = (3a(i-1) + 4b(i-1), 2a(i-1) + 3b(i-1)).
То, что других решений не существует, доказано в статье по ссылке.
Возвращаясь от переменных a и b к нужным нам переменным x и y, и отбрасывая бессодержательное решение (y,x) = (1,0), получим рекуррентные формулы для всех пар (x(i), y(i)) решений уравнения
y(i)(y(i)-1) = 2x(i)(x(i) - 1):
(x(0), y(0)) = (3,4)
(x(i), y(i)) = (3y(i-1) + 4x(i-1) – 3, 2y(i-1) + 3x(i-1) – 2).
Несложно убедиться, что эти формулы дают весь набор пар решений, приведённых в последнем комментарии Анонима.
Отправить комментарий